التمثيل المنطقي هو كسر يحتوي على متغير واحد أو أكثر في مكان البسط أو المقام. “المعادلة” المنطقية هي أي معادلة تحتوي على تمثيل منطقي واحد على الأقل. كما هو الحال مع المعادلات الجبرية العادية، يتم حل المعادلات المنطقية عن طريق إجراء نفس العمليات على جانبي المعادلة حتى يتم عزل المتغير إلى جانب واحد من علامة التساوي. يعد ضرب الأطراف بالوسيطتين وإيجاد العامل الأقل شيوعًا تقنيات مفيدة جدًا لعزل المتغيرات وحل المعادلات المنطقية.
خطوات
1 أعد ترتيب المعادلة إذا كنت تريد إيجاد كسر واحد في كل جانب من طرفي المعادلة. يعد ضرب كلا الطرفين في المنتصف طريقة سهلة وبسيطة لحل المعادلات المنطقية. لسوء الحظ، تعمل هذه الطريقة مع المعادلات التي تحتوي على تمثيل منطقي واحد فقط على كل جانب من المعادلة. إذا لم تكن المعادلة بالصيغة الصحيحة لضرب كلا الجانبين في الوسيلتين، فقد تحتاج إلى استخدام العمليات الجبرية لنقل الأرقام إلى أماكنها الصحيحة.
- على سبيل المثال، المعادلة (x + 3) / 4 – x / (- 2) = 0 يمكن بسهولة إعادة ترتيبها في شكل لضرب كلا الجانبين عن طريق إضافة x / (- 2) إلى كلا طرفي المعادلة، مما يجعل معادلة النموذج (x + 3) / 4 = x / (- 2).
- ضع في اعتبارك أن الكسور العشرية والأرقام الصحيحة يمكن تحويلها إلى شكل كسور بإعطائها عاملًا مشتركًا 1. المعادلة (x + 3) / 4 – 2.5 = 5 على سبيل المثال يمكن كتابتها كـ (x + 3) / 4 = 7.5 / 1، مما يجعل من الممكن إجراء عملية ضرب كلا الجانبين بالوسائل.
- لا يمكن تحويل بعض المعادلات المنطقية بسهولة إلى شكل يوجد فيه كسر منطقي واحد أو معادلة منطقية واحدة على كل جانب من المعادلة. في هذه الحالات، استخدم طريقة العامل الأقل شيوعًا.
- على سبيل المثال، المعادلة (x + 3) / 4 – x / (- 2) = 0 يمكن بسهولة إعادة ترتيبها في شكل لضرب كلا الجانبين عن طريق إضافة x / (- 2) إلى كلا طرفي المعادلة، مما يجعل معادلة النموذج (x + 3) / 4 = x / (- 2).
2 اضرب كلا الطرفين بوسائل. هذا يعني ببساطة ضرب بسط كسر في مقام الكسر الآخر، وضرب بسط الكسر الآخر في مقام الكسر المقابل. اضرب بسط الكسر في الجانب الأيسر من المعادلة بمقام الكسر في الجانب الأيمن من المعادلة. كرر مع بسط الكسر الأيمن ومقام الكسر الأيسر.
- تتم عملية ضرب كلا الطرفين في الوسيلتين حسب العمليات الجبرية العادية. يمكن تحويل الكسور النسبية إلى صورة لا تحتوي على كسور بضربها في مقاماتها. يعد ضرب كلا الطرفين في الوسيلة اختصارًا مفيدًا لضرب طرفي المعادلة في مقامات كلا الكسرين. لا تصدق ذلك جربها – ستحصل على نفس النتائج بعد تبسيط النتائج.
3 اكتب النتيجتين في صورة قيمتين متساويتين. ستحصل على نتيجتين بعد ضرب كلا الجانبين بالمتوسط. اكتب النتيجتين في صيغة التساوي وبسّط لكتابة كل جانب من المعادلة في أبسط صورة ممكنة.
- على سبيل المثال، إذا كانت المعادلة المنطقية هي (x + 3) / 4 = x / (- 2)، فإن المعادلة الجديدة بعد ضرب كلا الطرفين في الوسيلة ستكون -2 x (x + 3) = 4x. يمكنك أيضًا كتابة المعادلة كالتالي -2x – 6 = 4x.
4 أوجد قيمة المتغير. استخدم العمليات الجبرية لإيجاد قيمة المتغير في المعادلة. تذكر أنه إذا كان هناك متغير (س) على طرفي المعادلة، فستحتاج إلى إضافة أو طرح قيمة المتغير من كلا الطرفين لترك متغير واحد غير محدد في أحد طرفي المعادلة.
- في مثالنا، يمكننا قسمة كلا الطرفين على -2 وهو ما يعطينا المعادلة التالية x + 3 = -2x. اطرح x من طرفي المعادلة، وستحصل على 3 = -3x. أخيرًا، إذا قسمنا كلا الطرفين على -3، تكون النتيجة -1 = س، والتي يمكننا كتابتها في صورة س = -1. لقد حللنا الآن المعادلة المنطقية ووجدنا قيمة المتغير.
1 تعرف على الموقف الذي يكون فيه إيجاد العامل المشترك الأصغر مناسبًا. يمكن استخدام أقل عامل مشترك لتبسيط المعادلات المنطقية، مما يجعل من الممكن العثور على قيمة المتغيرات. يُعد العثور على العامل المشترك الأصغر فكرة جيدة إذا كانت كتابة معادلة منطقية مع كسر منطقي واحد أو تمثيل على كل جانب من جوانب المعادلة أمرًا صعبًا. يعد إيجاد العامل المشترك الأصغر عملية مفيدة لحل المعادلات المنطقية التي لها ثلاثة جوانب أو أكثر، لكن ضرب كلا الطرفين بالوسائل أسهل للمعادلات المنطقية التي لها ضلعان فقط.
2 افحص مقام كل كسر. حدد أقل عدد يمكن تقسيم كل مقام إليه للحصول على عدد صحيح. هذا الرقم هو أقل عامل مشترك في المعادلة.
- أحيانًا يكون العامل الأقل شيوعًا واضحًا – أي أقل رقم يُحسب كعامل من عوامل كل مقام. على سبيل المثال، إذا كانت المعادلة هي x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6، فلا ينبغي أن يكون من الصعب معرفة أن العامل المشترك للأرقام 3 و 2 و 6 هو 6.
- ومع ذلك، فإن العامل الأقل شيوعًا في المعادلة المنطقية لا يؤخذ عادةً كأمر مسلم به. في هذه الحالات، جرب اختبار أكبر العوامل المشتركة حتى تجد العامل المشترك الذي يمثل عاملًا لجميع القواسم. أقل عامل مشترك للمقام عادة هو مضاعف 2. على سبيل المثال، العامل المشترك الأصغر في المعادلة 2/6 = (x – 3) / 9 هو 8 × 9 = 72.
- إذا كان أحد مقامات شخص ما يحتوي على متغير، فإن هذه العملية تكون أكثر صعوبة، ولكنها ليست مستحيلة. في هذه الحالات، يكون العامل المشترك عبارة عن تعبير رياضي (يحتوي على متغيرات) يمكن تقسيم جميع القواسم إليه بدلاً من أن يكون رقمًا واحدًا. في حالة المعادلة، يكون العامل المشترك هو 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x)، على سبيل المثال، 3x (x-1) لأنه يمكن تقسيم كل مقام بواسطتها لإعطاء الكل number – القسمة على (x-1) ينتج عنها 3x، وتقسيمها على 3x للإجابة (x-1)، والقسمة على x على الإجابة 3 (x-1).
3 اضرب كل كسر في المعادلة في 1. قد لا يبدو ضرب الكسور في 1 بلا معنى، لكن هناك خدعة لذلك. يمكن تعريف الرقم 1 على أنه رقم مستقل، نظرًا لأن -2/2 و 3/3 يعطي أيضًا إجابة بـ 1. تستفيد هذه الطريقة من هذا التعريف البديل. اضرب كل كسر في المعادلة الكسرية في الرقم 1، وكتابة الرقم 1 بالطريقة التي ضربها في المقام ينتج العامل المشترك الأصغر على نفسه.
- في مثالنا البسيط، سنضرب x / 3 في 2/2 لنحصل على 2x / 6، ونضرب 1/2 في 3/3 لنحصل على 3/6. الضلع 3x + 1/6 يحتوي بالفعل على 6 (العامل المشترك الأصغر) كمقام، لذا يمكننا ضربه في الكسر 1/1 أو تركه دون الضرب في كسر على الإطلاق.
- في مثالنا مع المتغيرات في مقامات الكسور، تكون العملية أكثر صعوبة. بما أن أقل عامل مشترك هو 3x (x – 1)، فإننا نضرب كل تعبير نسبي في هذا العامل لنحصل على 3x (x – 1) مقسومًا على نفسه. نضرب 5 / (x-1) في (3x) / (3x) لنحصل على 5 (3x) / (3x) (x-1)، ونضرب 1 / x في 3 (x-1) / 3 (x- 1) لتحصل على 3 (x-1) / 3x (x-1)، واضرب 2 / (3x) في (x-1) / (x-1) لتحصل على 2 (x-1) / 3x (x- 1).
4 بسّط الكسور أوجد قيمة المتغير x. نظرًا لأن جميع جوانب المعادلة الكسرية لها نفس المقام، يمكنك إزالة المقامات من المعادلة والعمل فقط باستخدام البسط. ببساطة اضرب طرفي المعادلة للحصول على البسط فقط، ثم استخدم العمليات الجبرية لإيجاد قيمة x (أو أي متغير آخر تقيمه) بنفسه في أحد طرفي المعادلة.
- في مثالنا البسيط، ضرب كل جانب بالتناوب في 1 يعطينا 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. يمكن جمع كسرين معًا إذا كان لهما نفس المقامات، لذا يمكننا تبسيط المعادلة لتكون (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 دون تغيير قيمتها. اضرب طرفي المعادلة في 6 لإلغاء المقامات، واترك لنا 2x + 3 = 3x + 1. اطرح 1 من كلا طرفي المعادلة للحصول على 2x + 2 = 3x، واطرح 2x من كلا الطرفين لنحصل على 2 = x، والتي يمكن كتابتها في صورة x = 2.
- في مثالنا مع المتغيرات في المقامات، تكون النتيجة بعد ضرب كل جانب في 1 هي 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 (x -1) ) / 3s (s-1). يتيح لنا ضرب كل جانب في العامل المشترك الأصغر إلغاء المقامات بحيث تكون النتيجة 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). يمكن العمل على هذه النتيجة لكتابتها على أنها 15x = 3x – 3 + 2x – 2، ويمكن تبسيط النتيجة بعد ذلك لتكون 15x = x – 5. طرح x من كلا الجانبين يعطي 14x = -5، وهذه النتيجة يمكن يمكن تبسيطها لتصبح x = -5 / 14.
أفكار مفيدة
- استخدم قيمة المتغير التي تم الحصول عليها بعد حل المعادلة المنطقية للتعويض في المعادلة الأصلية بعد حل المعادلة. إذا كانت قيمة المتغير صحيحة، فستتمكن من تبسيط المعادلة الأصلية إلى تعبير منطقي بسيط مثل 1 = 1.
- لاحظ أنه يمكنك كتابة هذا كتعبير منطقي أو كثير حدود، كل ما عليك فعله هو كتابته فوق العامل المشترك 1. لذا فإن x + 3 و (x + 3) / 1 لهما نفس القيمة، لكن التعبير التالي هو تعبير منطقي لأنه مكتوب بالشكل المكسور.