كيفية حساب السرعة اللحظية

يتم تعريفه على أنه النسبة بين المسافة التي يتحرك بها كائن في اتجاه ووقت. عادةً ما يتم حساب السرعة لمصدر البحث X باستخدام هذه المعادلة v = s / t، حيث يتم تمثيل السرعة بواسطة v، والمسافة أو الإزاحة للجسم من موضع السكون بالرمز s والوقت بالرمز t. عند استبدال هذه القيم، تعطي هذه المعادلة السرعة المتوسطة للجسم وهو يتحرك على طول مساره. يمكنك حساب سرعة أي جسم في أي لحظة لأنه يتحرك على طول مساره باستخدام التفاضل، والذي يُعرف بالسرعة اللحظية. يتم حساب هذه السرعة اللحظية من المعادلة v = (ds) / (dt). تمثل هذه المعادلة اشتقاق .. X مصدر بحث

خطوات

حساب السرعة اللحظية

1. 1 ابدأ باستخدام المعادلة لإيجاد السرعة كدالة في الإزاحة. أولاً، يجب أن يكون لديك معادلة السرعة كدالة للإزاحة في لحظة زمنية معينة لإيجاد السرعة اللحظية. هذا يعني أن المعادلة يجب أن تحتوي على متغيرات المسافة والوقت بحيث تكون المسافة التي يمثلها الرمز s على جانب واحد بحد ذاتها، والوقت الذي يمثله الرمز t على الجانب الآخر ولكن لا يجب أن يكون بمفرده. ستكون المعادلة كما يلي

   الصورة = -1.5 طن 2 + 10 طن + 4

   • تتضمن هذه المعادلة المتغيرات التالية الإزاحة = s. يشير إلى المسافة التي قطعها الجسم عن وضع الراحة. X مصدر البحث، على سبيل المثال، إذا تحرك جسم ما للأمام 10 أمتار وتحرك للخلف 7 أمتار، فسيتم تمثيل الإزاحة الكلية التي تحركها الجسم بالمعادلة 10-7 = 3 أمتار (وليس 10 + 7 = 17 مترًا). الوقت = ر. في هذه المعادلة، يقاس الوقت بالثواني

2. 2 اشتق الدالة. يُعرف اشتقاق الدالة بالمعادلة التي تمنحك ميل الدالة في أي وقت. ضع الوظيفة في شكل معادلة ذات متغيرات يتم استبدالها بواحد من حيث الأخرى للعثور على المشتق، ويتم تمييز أحد المتغيرات أو تمييزه فيما يتعلق بالمتغير الآخر. إذا كانت المعادلة هي y = a * xn، فسيكون مشتقها = a * n * xn-1. يتم تطبيق هذه القاعدة على جميع الحدود الموجودة على الجانب الآخر من المعادلة التي تتضمن دالة الوقت t.

   • ابدأ بالجانب مع متغير الوقت “t” من اليسار إلى اليمين. اطرح 1 من الأس لكل حد يحتوي على المتغير “t”، واضرب هذا المصطلح في الرقم الأساسي قبل عملية الطرح. أي مصطلح آخر لا يحتوي على المتغير “t” سيختفي، حيث سيتم ضرب هذا المصطلح في صفر. هذه العملية ليست صعبة كما تبدو. لنفرق هذه الوظيفة كمثال

     الصورة = -1.5 طن 2 + 10 طن + 4
     (2) -1.5 طن (2-1) + (1) 10 طن 1 – 1 + (0) 4 طن 0
     -3 طن 1 + 10 طن 0
     -3 طن + 10

3. 3 استبدل المتغير “s” بـ “ds / dt.” استبدل المتغير “s” بـ “ds / dt” بحيث تصبح المعادلة الجديدة معادلة اشتقاق. هذه الرموز تعني اشتقاق الإزاحة فيما يتعلق بالوقت. يمكنك التفكير في هذه الرموز على أنها ميل أي نقطة على المنحنى ممثلة بالدالة الأولى. سنعوض بقيمة ‘t’ بالرقم 5 بعد الاشتقاق لإيجاد ميل الخط الذي يمثله الدالة التالية s = -1.5t2 + 10t + 4.

   • يجب أن تكون الوظيفة الأخيرة في هذا المثال بعد الاشتقاق كما يلي

     ds / dt = -3t + 10

4. 4 عوّض بقيمة t في المعادلة الجديدة لإيجاد السرعة اللحظية. X Research source يمكنك بسهولة العثور على السرعة اللحظية في أي نقطة بمجرد حصولك على الوظيفة النهائية بعد التفاضل. ما عليك سوى معرفة قيمة t والتعويض بها في المعادلة. إذا كنت تريد إيجاد السرعة اللحظية عند t = 5، فستضع الرقم 5 في الموضع t في معادلة التفاضل النهائية على النحو التالي ds / dt = -3 + 10. ثم سنحل المعادلة على النحو التالي

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 متر / ثانية

   • لاحظ استخدام التمييز بين المتر / الثانية، حيث إننا نتعامل هنا مع الإزاحة بالأمتار كدالة للوقت بالثواني. تُعرَّف السرعة عمومًا رياضيًا على أنها دالة للإزاحة أو المسافة فيما يتعلق بالوقت.

إيجاد السرعة اللحظية بيانياً

1. 1 ارسم دالة إزاحة الجسم بالنسبة إلى الوقت. قيل سابقًا أن المشتقة دالة تعطيك ميل الخط عند أي نقطة في معادلة المشتقة. X مصدر البحث إذا تم تمثيل الإزاحة برسم بياني خطي، فإن الميل عند أي نقطة سيكون مساويًا للسرعة اللحظية عند تلك النقطة.

   • استخدم المحور x أو المحور X للوقت والمحور Y أو المحور Y للإزاحة عند تمثيل حركة الجسم بيانياً. وقِّع النقاط عن طريق استبدال قيم t في معادلات الإزاحة للحصول على قيمة s. ستكون t و s نقطتي (x، y) المرسومة.
   • لاحظ أن الرسم البياني قد يمتد لأسفل على المحور السيني. إذا تحرك الرسم البياني لأسفل على المحور x، فهذا يعني أن الجسم يتحرك للخلف في الاتجاه المعاكس. لن يمتد الرسم البياني إلى ما بعد المحور الصادي، حيث لا يتم قياس سرعة الأجسام التي تتحرك عكس الوقت.

2. 2 اختر النقاط المتقاربة على الخط. سنستخدم مفهومًا رياضيًا يسمى الحد لإيجاد ميل الخط عند النقطة P. ولحساب الحد، ستحتاج إلى التعامل مع نقطتين على المنحنى، P و Q، ويجب أن تكونا قريبين معاً. ستجد ميل الخط المستقيم الذي يربط بينهما مرارًا وتكرارًا لأن المسافة بين النقطتين تقل.

   • لنفترض أن الإزاحة ممثلة بالنقطتين (1،3) و (4،7). إذا أردت حساب الميل عند النقطة (1،3)، فسنضع (1،3) = P و (4،7) = Q.

3. 3 احسب الميل بين النقطتين P و Q. الميل بين النقطتين هو الفرق بين قيم y لـ P و Q مقسومًا على الفرق بين قيم s لـ P و Q. يمكننا تمثيله رياضيا مثل H = (yQ – yP) / (xQ – xP) حيث H هو المنحدر بين النقطتين. سيتم حساب المنحدر في هذا المثال على النحو التالي

   H = (yQ – yP) / (xQ – xP)
   ع = (7-3) / (4-1)
   ع = (4) / (3) = 1.33

4. 4 كرر الأمر عدة مرات، وحرك النقطة Q نحو النقطة P. هدفنا هنا هو تقليل المسافة بين P و Q حتى يتطابقان ويصبحان نقطة واحدة. كلما كانت المسافة بين النقطتين أصغر، كلما كانت قيمة ميل الخط أقرب إلى المنحدر عند النقطة P. كرر الأمر عدة مرات عن طريق استبدال النقاط (2،4.8) و (1.5،3.95) و ( 1.25،3.49) كقيم لـ Q، والنقطة الأصلية P هي (1، 3)

   Q = (2،4.8) H = (4.8 – 3) / (2 – 1)
   ع = (1.8) / (1) = 1.8

   س = (1.5،3.95) ع = (3.95 – 3) / (1.5 – 1)
   H = (.95) / (. 5) = 1.9

   س = (1.25.3.49) ع = (3.49 – 3) / (1.25 – 1)
   ع = (.49) / (.25) = 1.96

5. 5 احسب الميل بالتعويض عن نقاط الفترة الصغيرة على الخط. ستقترب قيمة المنحدر H من قيمة المنحدر عند النقطة P كلما اقتربت النقطة Q من النقطة P. النقاط التي استخدمناها وعوضناها بقيمها عند حساب الميل.

   • تم تقريب النقطة Q إلى النقطة P في هذا المثال، ونحصل على قيم H تساوي 1.8 و 1.9 و 1.96. يمكننا تقريب هذه القيم إلى 2، ويمكننا القول إن ميل النقطة P عندما نشتق معادلة الخط المستقيم = 2 بالتقريب.
   • تذكر أن ميل الخط عند نقطة معينة على الخط يساوي مشتق معادلة الخط المستقيم عند تلك النقطة. يمكننا القول أن السرعة اللحظية في الوقت t = 1 هي 2 m / s، علمًا بأن الخط البياني يوضح النسبة بين الإزاحة والوقت كما أوضحنا سابقًا.

حل المعادلات

1. 1 احسب السرعة اللحظية عند t = 4، بالنظر إلى أن معادلة الإزاحة هي s = 5t3 – 3t2 + 2t + 9. هذا المثال مشابه للمثال السابق، لكنه يختلف فقط في أننا نتعامل هنا مع معادلة تكعيبية بدلاً من ذلك لمعادلة من الدرجة الثانية من الدرجة الثانية. سنحل بنفس الطريقة.

   • سنبدأ باشتقاق المعادلة

     s = 5t3 – 3t2 + 2t + 9
     ق = (3) 5 طن (3-1) – (2) 3 طن (2-1) + (1) 2 طن (1 – 1) + (0) 9 طن 0 – 1
     15 طن (2) – 6 طن (1) + 2 طن (0)
     15 طن (2) – 6 طن + 2

   • سنقوم بعد ذلك باستبدال قيمة t بـ (4)

     ق = 15 طن (2) – 6 طن + 2
     15 (4) (2) – 6 (4) + 2
     15 (16) – 6 (4) + 2
     240 – 24 + 2 = 218 متر / ثانية

2. 2 استخدم الحل البياني لإيجاد السرعة اللحظية عند النقطة (1،3)، مع العلم أن معادلة الإزاحة هي s = 4t2 – t. (1،3) في هذا السؤال سيتم أخذها كنقطة P، لكن علينا إيجاد نقاط أخرى بالقرب منها للتعامل معها كما لو كانت نقاط Q. هذه العملية هي إيجاد قيم المنحدر H.

   • يجب علينا أولاً إيجاد نقاط Q عندما نعوض بـ t بـ 2 و 1.5 و 1.1 و 1.01.

     ق = 4t2 – ر

     ر = 2 ث = 4 (2) 2 – (2)
     4 (4) – 2 = 16-2 = 14، لذا Q = (2،14)

     ر = 1.5 ث = 4 (1.5) 2 – (1.5)
     4 (2.25) – 1.5 = 9 – 1.5 = 7.5، لذا Q = (1.5،7.5)

     ر = 1.1 ث = 4 (1.1) 2 – (1.1)
     4 (1.21) – 1.1 = 4.84 – 1.1 = 3.74، لذا Q = (1.1،3.74)

     ر = 1.01 ث = 4 (1.01) 2 – (1.01)
     4 (1.0201) – 1.01 = 4.0804 – 1.01 = 3.0704، لذا Q = (1.01،3.0704)

   • هنا سنجد بعض قيم H

     س = (2،14) ع = (14-3) / (2-1)
     ع = (11) / (1) = 11

     س = (1.5،7.5) ع = (7.5 – 3) / (1.5 – 1)
     ع = (4.5) / (. 5) = 9

     Q = (1.1.3.74) H = (3.74 – 3) / (1.1 – 1)
     ع = (.74) / (. 1) = 7.3

     س = (1.01،3.0704) ع = (3.0704 – 3) / (1.01 – 1)
     ع = (.0704) / (.01) = 7.04

   • سنجد أن قيم H قريبة من الرقم 7، ويمكننا اعتبار أن السرعة اللحظية عند النقطة (1،3) = 7 م / ث.

أفكار مفيدة

• يتم تعريف التسارع رياضيًا على أنه تغيير السرعة فيما يتعلق بالوقت. استخدم ما تم شرحه في الجزء 1 لإيجاد مشتقة معادلة الإزاحة، ثم اشتقاقها مرة أخرى للحصول على العجلة في الوقت المحدد. ستحتاج فقط إلى التعويض بقيم الوقت المحددة.
• المعادلة التي تربط الإزاحة بالوقت كوظائف في x و y أو X و Y بسيطة للغاية Y = 6x + 3. الميل في هذه الدالة ثابت و = 6. لست بحاجة إلى الاشتقاق لإيجاده. يتم تمثيل المعادلات الخطية البسيطة على النحو التالي Y = mx + b.
• يُعرَّف الإزاحة رياضيًا على أنها مسافة ولكن كمتجه وليس كمية قياسية، مما يجعل الإزاحة متجهًا والسرعة العددية. يمكن أن تكون الإزاحة سالبة، بينما تكون المسافة موجبة دائمًا.