كيفية تبسيط الكسور المعقدة

الكسور المركبة هي كسور يحتوي فيها البسط أو المقام، أو كلاهما، على كسور ثانوية، بدلاً من الأعداد الصحيحة، وبعبارة أخرى، مشكلة قسمة بين أحد أو كلا جانبيها كسور أو عمليات على كسور ؛ لهذا السبب يشار إليها أحيانًا باسم “الكسور المكدسة”. تختلف عملية تبسيط الكسور المعقدة في السهولة والصعوبة اعتمادًا على عدد المصطلحات في البسط والمقام، وما إذا كان أي من المصطلحات متغيرات، وما إذا كانت المتغيرات معقدة ودرجة تعقيدها. انظر الخطوة 1 أدناه للبدء.

خطوات

استخدم المعكوس الضربي لتبسيط الكسور المركبة

1. 1 بسّط البسط والمقام لتكوين كسر إذا لزم الأمر. حل الكسور المعقدة ليس بالضرورة صعبًا. في الواقع، من السهل عادةً حل الكسور المعقدة ذات الكسر على جانب واحد فقط – البسط أو المقام. سواء كان البسط يحتوي على كسر أو مقام أو كليهما، قم بالتبسيط حسب الحاجة لترك كسر واحد في كل من البسط والمقام. قد يتطلب هذا MMA بين كسرين أو أكثر.

   • على سبيل المثال، لنفترض أننا نريد تبسيط كسر مركب (3/5 + 2/15) ÷ (5/7 – 3/10). أولًا، نبسط كلًا من بسط الكسر المركب ومقامه إلى كسرين منفصلين.
     • لتبسيط البسط، نستخدم المضاعف المشترك الأصغر لـ 15 بضرب 3/5 في 3/3. يصبح البسط 9/15 + 2/15، ما يساوي 11/15.
     • لتبسيط المقام، نستخدم CMA 70 بضرب 5/7 في 10/10 و 3/10 في 7/7. يصبح المقام 50/70 – 21/70، وهو ما يساوي 29/70.
     • لذا يصبح الكسر المركب الجديد (11/15) / (29/70).

2. 2 اقلب المقام لإيجاد المعكوس الضربي. بالتعريف، فإن “قسمة” رقم على آخر هو نفس ضرب الرقم الأول في مقلوب الرقم الثاني. الآن بما أن الكسر المركب يحتوي على كسر واحد في كل من البسط والمقام، يمكننا استخدام خاصية القسمة هذه لتبسيط الكسر المركب. أولًا، أوجد مقلوب الكسر السفلي في الكسر المركب. افعل ذلك عن طريق “قلب” الكسر، مع وضع البسط مكان المقام والعكس صحيح.

   • في مثالنا، الكسر في مقام الكسر المركب (11/15) / (29/70) هو 29/70. لإيجاد المعكوس الضربي، نقلب الكسر ليصبح 70/29.
     • لاحظ أنه إذا كان الكسر المعقد يحتوي على عدد صحيح في المقام، فيمكنك صياغة هذا المقام ككسر منتظم ومن ثم إيجاد المعكوس الضربي إذا كان الكسر. على سبيل المثال، إذا كان الكسر المركب هو (11/15) (29)، فيمكننا أن نأخذ المقام كبسط للرقم الأول “1/29″، مما يجعل معكوسه 1/29.

3. 3 اضرب بسط الكسر المركب بمقلوب المقام. الآن بعد أن وجدت مقلوب مقام الكسر المركب، اضربه في البسط لإيجاد كسر بسيط واحد. تذكر، لضرب كسرين، نقوم ببساطة بضرب كل جزء في نقيضه ؛ بسط الكسر الجديد هو حاصل ضرب بسط الكسرين الأصليين، وبالمثل مع المقام.

   • في مثالنا 11/15 × 70/29 70 × 11 = 770 و 15 × 29 = 435. إذن، الكسر الجديد المبسط هو 770/435.

4. 4 بسّط الكسر الجديد بإيجاد العامل المشترك الأكبر. لدينا الآن كسر بسيط، لذا كل ما تبقى الآن هو تقديمه في أبسط صورة ممكنة. أوجد (AMA) بين البسط والمقام وقسمهما على هذا الرقم لتبسيط الكسر.

   • العامل المشترك بين 770 و 435 هو 5. إذا قسمنا البسط والمقام في الكسر على 5، فإن الإجابة هي 154/87. لا يوجد أي عوامل مشتركة بين 154 و 87، ما يعني أننا توصلنا إلى إجابتنا النهائية.

بسّط الكسور المعقدة التي تحتوي على حدود متغيرة

1. 1 استخدم طريقة الضرب العكسي أعلاه (إن أمكن). للتوضيح، يمكن تبسيط أي كسر معقد تقريبًا عن طريق تقليل كل من البسط والمقام إلى كسرين وضرب البسط في عكس المقام. لا تعد الكسور المعقدة التي تحتوي على متغيرات استثناءً من هذه الطريقة، على الرغم من أنه كلما زادت تعقيد التعبيرات المتغيرة في الكسر المعقد، زادت صعوبة استخدام الضرب في مقلوب الكسر واستهلاكه للوقت. بالنسبة للكسور المعقدة “السهلة” التي تحتوي على متغيرات، يعد الضرب في المعكوس خيارًا جيدًا، ولكن قد يكون من الأسهل تبسيط الكسور المعقدة التي تحتوي على العديد من المصطلحات المتغيرة في البسط والمقام باستخدام الطريقة البديلة الموضحة أدناه.

   • على سبيل المثال، يمكن بسهولة تبسيط (1 / x) / (x / 6) عن طريق الضرب في معكوس الضرب. 1 / س 6 / س = 6 / س 2. ليست هناك حاجة لاستخدام طريقة بديلة هنا.
   • ومع ذلك، يصعب تبسيط (((1) / (x + 3)) + x – 10) / (x +4 + ((1) / (x – 5)))) بالضرب بالمقلوب. سيكون من الصعب البدء بتبسيط كل من بسط هذا الكسر المعقد ومقامه إلى كسرين، وضربهما في المقلوب، ثم تبسيط الإجابة في أبسط صورة – وهذه عملية معقدة. في هذه الحالة، من الأسهل تجربة الطريقة البديلة أدناه.

2. 2 إذا كان الضرب بالمقلوب غير عملي، فابدأ بإيجاد المقام المشترك الأصغر للحدود الكسرية في الكسر المركب. الخطوة الأولى في طريقة التبسيط البديلة هذه هي إيجاد MCA لجميع الحدود المنطقية في الكسر المركب – أي البسط والمقام. عادة، إذا كان لواحد أو أكثر من المصطلحات المنطقية متغيرات في قواسمها، فإن maa بينهما هو ببساطة حاصل ضرب قواسمها.

   • من الأسهل فهم هذا بمثال. دعنا نحاول تبسيط الكسر المركب الذي ذكرناه أعلاه (((1) / (x + 3)) + (x – 10) / (x +4 + ((1) / (x – 5))) الشروط المنطقية في هذا الكسر المركب هي (1) / (x + 3) و (1) / (x-5) والمقام المشترك لهذين الكسرين هو ناتج مقاماتهما كما هي (x + 3) (x- 5).

3. 3 اضرب بسط الكسر المركب في ma الذي وجدته. بعد ذلك، علينا ضرب حدود الكسر المركب في المقام المشترك الأصغر لمصطلحات الكسر ؛ بعبارة أخرى، سنضرب الكسر المركب بأكمله في (mca) / (mca). يمكننا القيام بذلك بحرية دون تغيير قيمة الجذر لأن (mca) / (mca) هي 1. أولاً، اضرب البسط في نفسه.

   • في مثالنا، سنضرب الكسر المركب (((1) / (x + 3)) + x – 10) / (x +4 + ((1) / (x – 5)))، في (( x + 3) (x-5)) / ((x + 3) (x-5)). علينا ضرب كل حدود بسط ومقام الكسر المركب، كل منهم في (x + 3) (x-5).
     • أولاً، نضرب البسط (((1) / (x + 3)) + x – 10) x (x + 3) (x-5)
       • = ((x + 3) (x-5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x-5)) – 10 ((x + 3) (x-5))
       • = (x-5) + (x (x2 – 2x – 15)) – (10 (x2 – 2x – 15))
       • = (x-5) + (x3 – 2×2 – 15x) – (10×2 – 20x – 150)
       • = (x-5) + x3 – 12×2 + 5x + 150
       • = x3 – 12×2 + 6x + 145

4. 4 اضرب مقام الكسر المركب في maa كما فعلت في البسط. استمر في ضرب الكسر المركب في ma الذي أنشأته بالانتقال إلى ضربه في المقام في الخطوة التالية. اضرب في الكسر كله، ولا تنسَ أن تحلل أيًا من الحدود في المقام المشترك الأصغر.

   • مقام كسر مركب (((1) / (x + 3)) + x – 10) / (x +4 + ((1) / (x – 5)))) هو x +4 + ((1 ) / (x -5)). سنضربه في المقام المشترك الأصغر الذي وجدناه (x + 3) (x-5).
     • (x +4 + ((1) / (x – 5))) x (x + 3) (x-5)
     • = x ((x + 3) (x-5)) + 4 ((x + 3) (x-5)) + (1 / (x-5)) (x + 3) (x-5).
     • = x (x2 – 2x – 15) + 4 (x2 – 2x – 15) + ((x + 3) (x-5)) / (x-5)
     • = x3 – 2×2 – 15x + 4×2 – 8x – 60 + (x + 3)
     • = x3 + 2×2 – 23x – 60 + (x + 3)
     • = x3 + 2×2 – 22x – 57

5. 5 كوّن كسرًا جديدًا مبسطًا من البسط والمقام الذي أنشأته للتو. بعد ضرب الكسر في (mma) / (mma) والتبسيط من خلال دمج المصطلحات المتشابهة، يجب أن تترك لك كسر بسيط لا يحتوي على مصطلحات كسرية. كما لاحظت، عن طريق الضرب في أقل عدد مشترك من الحدود المنطقية في الكسر المركب الأصلي، تتم إزالة مقام هذه الكسور، تاركًا الحدود المتغيرة والأعداد الصحيحة في بسط إجابتك ومقامها، ولكن بدون كسور.

   • باستخدام البسط والمقام الذي وجدناه أعلاه، يمكننا تكوين كسر يساوي الكسر المركب الأولي ولكنه لا يحتوي على حد كسري. كان البسط الذي وجدناه هو x3 – 12×2 + 6x + 145 وكان المقام هو x3 + 2×2 – 22x – 57، إذن الشكل الجديد للكسر هو (x3 – 12×2 + 6x + 145) / (x3 + 2×2 – 22x – 57) )

أفكار مفيدة

• اكتب كل خطوة من خطوات الحل بوضوح. يمكن أن تصبح الكسور مربكة بسهولة إذا كنت تحاول حلها بسرعة كبيرة أو مجرد إجراء العمليات الحسابية في رأسك.
• ابحث عن أمثلة للكسور المعقدة عبر الإنترنت أو في كتابك المدرسي. اتبع كل خطوة موضحة حتى تتمكن من فهم العملية وحل المشكلات الجديدة بنفسك.