كيفية تبسيط الجذور التربيعية

إن تبسيط الجذور التربيعية ليس معقدًا كما يبدو، فكل ما يتطلبه الأمر هو تعلم خطوات محددة وقليل من الوقت للتعود عليها والتدرب عليها، وسترى مدى سهولة ذلك. تتلخص هذه الخطوات في تحليل العدد إلى عوامل ثم استخراج الجذر التربيعي لأي مربعات كاملة تجدها تحت علامة الجذر. بعد حفظ بعض المربعات الكاملة المعروفة من خلال التدريب ومعرفة كيفية تحليل الأرقام، سيكون لديك كل ما يلزم لتبسيط أي جذر تربيعي موجود.

خطوات

تبسيط جذر تربيعي بالتحليل

1. 1 فهم التحليل. الهدف من تبسيط الجذور التربيعية هو إعادة كتابتها بطريقة يسهل فهمها واستخدامها في مسائل الرياضيات. أي أن تحليل عدد كبير يؤدي إلى تقسيمه على “عاملين” أو أكثر، مثل تحويل 9 إلى 3 × 3. بمجرد أن نحصل على هذه العوامل، يمكننا كتابة الجذر التربيعي بشكل أبسط، وأحيانًا حتى تحويله إلى رقم دقيق، مثل √9 = √ (3×3) = 3. اتبع الخطوات أدناه لمعرفة كيفية تطبيق ذلك على جذور تربيعية أكثر تعقيدًا.

2. 2 اقسم على أصغر عدد أولي ممكن. إذا كان الرقم الموجود أسفل الجذر عددًا زوجيًا، فاقسمه على 2. إذا كان عددًا فرديًا، فحاول تقسيمه على 3. إذا لم ينتج عن القسمة على أي منهما عددًا صحيحًا، فتابع لمحاولة القسمة على الأرقام التالية في القائمة من الأعداد الأولية أدناه اختبار الأرقام بشكل فردي حتى الوصول إلى قسمة نتيجتها على عدد صحيح. لا تحتاج إلى تجربة القسمة على الأعداد غير الأولية لأن جميع الأعداد غير الأولية لها عوامل أولية. على سبيل المثال، لا تحتاج إلى القسمة على 4، لأن أي رقم يقبل القسمة على 4 قابل للقسمة أيضًا على 2، وهو ما حاولت بالفعل تقسيمه ولم تحصل على النتيجة المرجوة.

   • 2
   • 3
   • 5
   • 7
   • 11
   • 13
   • 17

3. 3 أعد كتابة الجذر التربيعي كمسألة ضرب. اترك كل شيء تحت علامة الجذر ولا تنسَ تضمين كلا العاملين. على سبيل المثال إذا كان الجذر الذي نحاول تبسيطه هو √98، فاتبع الخطوات أعلاه لإيجاد أن 98 ÷ 2 = 49، لذا 98 = 2 × 49. اكتب “98” الأصلي للجذر التربيعي الأول كما يلي √ 98 = (2 × 49).

4. 4 كرر العملية لأحد الرقمين المتبقيين. علينا أن نستمر في تحليل العدد إلى أن نجد بين عوامله عددين متطابقين قبل أن نتمكن من تبسيطه. هذا منطقي إذا أخذنا في الاعتبار معنى الجذر التربيعي المصطلح √ (2 × 2) يعني “الرقم الذي يضرب في نفسه يعطي 2 × 2″، ومن الواضح أن هذا الرقم هو 2! أثناء الحل، تذكر أن هذا هو الهدف، ثم استمر في تكرار الخطوات المذكورة أعلاه على سبيل المثال √ (2 × 49)

   • 2 تم تحليله بالفعل بأبسط ما يمكن (إنه أحد الأعداد الأولية في القائمة أعلاه)، لذلك سنتخلى عنه لبعض الوقت ونحاول تحليل 49.
   • 49 بدون الباقي لا يمكن قسمة 2 أو 3 أو 5، ويمكنك التحقق من ذلك بنفسك باستخدام الآلة الحاسبة أو القسمة المطولة. نظرًا لأن هذه الأعداد الأولية لا تعطينا النتائج الصحيحة كما نتوقع من القسمة، فسوف نتخطاها ونواصل المحاولة.

   • 49 يمكن قسمة سبعة. 49 ÷ 7 = 7، لذا 49 = 7 × 7

   • أعد كتابة المسألة √ (2 × 49) = √ (2 × 7 × 7).

5. 5 قم بإنهاء عملية التبسيط عن طريق “استخراج” عدد صحيح. بعد أن يحتوي التحليل على رقمين متساويين، يمكنك تحويلهما إلى عدد صحيح خارج علامة الجذر التربيعي، وترك باقي العوامل تحت العلامة، على سبيل المثال √ (2 × 7 × 7) = √ (2) √ (7 × 7) = √ (2) × 7 = 7√ (2).

   • حتى إذا كان التحليل يمكن أن يستمر، فأنت لست بحاجة إليه طالما أنك قد وجدت بالفعل عاملين متشابهين. مثال √ (16) = √ (4 × 4) = 4. إذا واصلنا تحليل الرقم تحت الجذر إلى عوامل أصغر، فسننتهي بنفس النتيجة ولكن بعد المزيد من الخطوات √ (16) = √ (4) س 4) = √ (2 × 2 × 2 × 2) = √ (2 × 2) √ (2 × 2) = 2 × 2 = 4.

6. 6 اضرب الأعداد الصحيحة معًا إذا كنت قد استخرجت أكثر من رقم واحد من الجذر. يمكنك تبسيط بعض الجذور التربيعية أكثر من مرة إذا كانت الأعداد الموجودة بداخلها كبيرة. إذا قمت بتبسيط مشكلة من هذا النوع، اضرب الأعداد الصحيحة التي أخذتها من الجذر للوصول إلى النتيجة النهائية. هذا مثال

   • √180 = (2 × 90)
   • √180 = √ (2 × 2 × 45)
   • √180 = 2√45، لكن يمكن تبسيط هذه النتيجة بشكل أكبر
   • √180 = 2√ (3 × 15)
   • √180 = 2√ (3 × 3 × 5)
   • √180 = (2) (3√5)
   • √180 = 6√5

7. 7 اكتب “لا يمكن تبسيطه” إذا لم يتطابق عاملين. بعض الجذور التربيعية هي بالفعل في أبسط صورها، وأنت تعلم أنها كذلك إذا واصلت تحليلها حتى تصبح جميع الأعداد الموجودة داخل الجذر أولية (مثل الأرقام المذكورة في إحدى الخطوات أعلاه) ولا يوجد اثنان متماثلان، لذلك هناك لا شيء يمكنك فعله بهذا الجذر. ربما كان السؤال يخدعك! على سبيل المثال، لنحاول تبسيط 7070

   • 70 = 35 × 2، لذا 70 = √ (35 × 2)
   • 35 = 7 × 5، لذا √ (35 × 2) = √ (7 × 5 × 2)
   • كل من هذه الأعداد الثلاثة عبارة عن أعداد أولية، لذا لا يمكن تبسيطها أكثر من ذلك. كلها أرقام مختلفة، لذلك لا توجد طريقة “لإخراج” رقمين على أنهما عدد صحيح غير جذري. من هنا نستنتج أنه لا يمكن تبسيط √70.

تعرف على المربعات المثالية

1. 1 احفظ بعض المربعات الكاملة. التربيع (أو الضرب في نفسه) أي رقم ينتج عنه مربع كامل، على سبيل المثال 25 مربع كامل لأن 5 × 5، أو 52، هو 25. الجذور التربيعية الكاملة أسهل في التعرف عليها وتبسيطها إذا حفظت على الأقل الأول عشرة مربعات كاملة. فيما يلي قائمة بأفضل عشرة مربعات مثالية

   • 12 = 1
   • 22 = 4
   • 32 = 9
   • 42 = 16
   • 52 = 25
   • 62 = 36
   • 72 = 49
   • 82 = 64
   • 92 = 81
   • 102 = 100

2. 2 أوجد الجذر التربيعي لمربع كامل. إذا قمت بتمييز الرقم الموجود داخل علامة الجذر كمربع كامل، فحوله إلى جذره التربيعي وقم بإلغاء العلامة (√). مثال إذا رأيت الرقم 25 أسفل علامة الجذر التربيعي، فستعرف على الفور أن الإجابة هي 5 لأن 25 مربع كامل. إليك نفس القائمة التي قدمناها أعلاه ولكن مع التحويل العكسي من الجذر التربيعي إلى الحل

   • √1 = 1
   • √4 = 2
   • √9 = 3
   • √16 = 4
   • √25 = 5
   • √36 = 6
   • √49 = 7
   • √64 = 8
   • √81 = 9
   • √ 100 = 10

3. 3 حلل الأعداد إلى مربعات كاملة. استخدم المربعات الكاملة لتكون مفيدة عند التحليل لتبسيط الجذور التربيعية. إذا لاحظت رقمًا يمكن احتوائه في مربع كامل، فيمكنك القيام بذلك لتوفير الوقت والجهد. فيما يلي بعض النصائح حول هذا

   • √50 = (25 × 2) = 5√2. إذا انتهى أي رقم برقمين من 25 أو 50 أو 75، فيمكنك تحليل 25 منه.
   • 1700 = √ (100 × 17) = 10√17. إذا كان آخر رقمين هما 00، فيمكنك دائمًا استخراج 100 من عوامل العدد.
   • √72 = √ (9 × 8) = 3√8. غالبًا ما يكون من المفيد معرفة مضاعفات تسعة، وهناك حيلة لمساعدتك في ذلك إذا كان مجموع الأرقام يصل إلى تسعة، فيجب أن تكون التسعة عاملًا لهذا العدد.
   • √12 = √ (4 × 3) = 2√3. لا توجد قاعدة عامة هنا، ولكن من السهل عادةً تجربة قابلية القسمة على أي عدد صغير على 4. تذكر هذا أثناء البحث عن العوامل.

4. 4 حلل الأعداد بأكثر من مربع كامل. إذا احتوت عوامل الأعداد على أكثر من مربع كامل، فاخرجهم من علامة الجذر. ما عليك سوى تحريك أي مربع كامل تجده أثناء خطوات التبسيط خارج علامة الجذر وضرب الأرقام التي استخرجتها معًا في النهاية. لنبسط 72 كمثال في هذه الحالة

   • √72 = √ (9 × 8)
   • √72 = √ (9 × 4 × 2)
   • √72 = √ (9) x √ (4) x √ (2)
   • √72 = 3 × 2 × √2
   • √72 = 6√2

معرفة أجزاء الجذر والمصطلحات ذات الصلة

1. 1 علامة الجذر التربيعي (√). في المسألة √25 على سبيل المثال، “√” هي علامة الجذر التربيعي.

2. 2 الرقم الموجود داخل علامة الجذر. هذا هو الرقم الذي تحتاج إلى إيجاد جذره التربيعي، على سبيل المثال في المسألة 25، 25 هو الرقم الذي نحتاج إلى إيجاد جذره.

3. 3 هو المعامل، وهو الرقم الذي يقع خارج علامة الجذر. يتم ضرب هذا الرقم في الجذر التربيعي، ويقع خارج العلامة (بجانب الشرطة الصغيرة). على سبيل المثال في المسألة 7-2، “7” هي المعلمة.

4. 4 العامل هو عدد صحيح ناتج عن قسمة عددين. مثال 2 هو عامل 8 وكذلك 4 لأن 8 ÷ 4 = 2، لكن 3 ليس عامل 8 لأن قسمة 8 ÷ 3 لا ينتج عنها عدد صحيح. مثال آخر 5 هو عامل 25 لأن 5 × 5 = 25.

5. 5 يفهم معنى تبسيط جذر تربيعي. يعني تبسيط الجذر التربيعي تحليله إلى أي عدد يمكن أخذه من الجذر كمربع كامل، ونقله خارج الجذر وترك العوامل التي لا يمكن إخراجها داخل الإشارة. إذا كان العدد صحيحًا مربعًا كاملًا، فستحذف علامة الجذر بعد كتابة جذر هذا الرقم. مثال يمكن تبسيط √98 إلى 7√2.

أفكار مفيدة

• تتمثل إحدى طرق إيجاد المربعات الكاملة التي يمكن استخلاصها من تحليل رقم ما في النظر إلى قائمة المربعات الكاملة والبدء بالأرقام الأصغر من الرقم المعني، بدءًا من الأكبر (الأقرب إليها). مثال عندما تبحث عن مربع كامل يمكن استخراجه من 27، ابدأ بالنظر إلى 25 وانتقل إلى أسفل القائمة حتى 16 وتوقف عند 9 لأنك وجدت ما يمكن تقسيم 27 عليه.

تحذيرات

• صحيح أن الآلات الحاسبة مفيدة في حالة الأعداد الكبيرة، ولكن كلما تدربت على حل هذه المشكلات بنفسك، أصبح الأمر أسهل بمرور الوقت.
• إن تبسيط الجذور التربيعية عملية مختلفة عن التقدير. يختفي الجذر تمامًا ويتم إنتاج رقم عشري ما لم يكن الجذر مربعًا كاملًا. في التبسيط، من المستحيل الحصول على نتيجة تحتوي على علامة عشرية.