التكامل هو العملية العكسية للتمايز. يُقال أن التمايز علم، بينما التكامل فن. السبب ببساطة هو أن التكامل يكون أكثر صعوبة بينما الاشتقاق معني فقط بسلوك الوظيفة في مرحلة ما. يتطلب التكامل كإضافة قدرًا كبيرًا من المعرفة بالوظيفة، لذلك في حين أن هناك بعض الوظائف التي يمكن دمجها باستخدام الطرق العادية الموضحة في هذه المقالة، هناك العديد من الوظائف الأخرى التي لا تفعل ذلك.
في هذه المقالة، سوف نستعرض الطرق الأساسية للتكامل فيما يتعلق بمتغير واحد ونطبقها على الوظائف ذات المشتقات العكسية.
خطوات
أساسيات
1 افهم معنى التكامل. يتكون التكامل من ∫abf (x) dx 2 افهم تعريف التكامل. نتحدث في الغالب عن تكاملات ريمان عندما نتحدث عن التفاضل، أي بعبارة أخرى إضافة المستطيلات. بافتراض أن لدينا دالة f (x)، 3 تذكر + C1 خذ المعادلة المضلعة xn2 وطبق قاعدة الأس على التكاملات. نفس القاعدة للمشتقات ولكن في الاتجاه المعاكس. نزيد الأس بمقدار 1 ونقسمه على الأس الجديد. لا تنس ثابت التكامل C.3 المطبق على الخطية. التكامل هو علامة خطية، مما يعني أن تكامل المجموع هو مجموع التكاملات، ويمكن حساب معامل كل مصطلح على النحو التالي
- ∫ (axn + bxm) dx = a∫xndx + b∫xmdx4 أوجد المشتق العكسي لـ f (x) = x4 + 2×3−5×2−15 أوجد المشتق العكسي لـ f (x) = 2×2 + 3x − 1×1 / 31 خذ المعطى لا يتجزأ أدناه. هنا لدينا حدود لحساب قيمة التكامل، على عكس عملية التكامل الموضحة في الجزء 2.
- ∫23x2dx2 استخدم النظرية الأساسية للتكامل وحساب التفاضل والتكامل. تنقسم هذه النظرية إلى جزأين، وقد ذكرنا الجزء الأول في العبارة الأولى من هذه المقالة التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق، لذا فإن حساب تكامل الدالة ثم اشتقاقها يعيدنا إلى الدالة الأصلية. الجزء الثاني موضح أدناه.
- لنفترض أن F (x) 3 تحسب التكامل المذكور في الخطوة 1. يمكننا الآن بسهولة حساب قيمة التكامل كما هو موضح أعلاه بعد أن أصبح لدينا النظرية الأساسية كأداة لحل التكاملات.
- ∫23x2dx = 13×3 | 23 = 13 (3) 3−13 (2) 3 = 1934 احسب التكامل عن طريق تبديل الحدود. دعونا نرى ما يحدث هنا.
- ∫32x2dx = 13×3 | 32 = 13 (2) 3−13 (3) 3 = −1931 احفظ معكوسات الدوال الأسية. في الخطوات التالية، سنذكر الوظائف الشائعة مثل الدوال الأسية والمثلثية. يتم مواجهتها جميعًا بشكل شائع، لذا من الضروري معرفة المشتقات العكسية لبناء مهارات التكامل. تذكر أن هناك C، 2 احفظ المشتقات العكسية للدوال المثلثية. إنه تطبيق عكسي للمشتقات ويجب ألا يكون غريبًا عليك. تحدث هذه الجيوب وجيب التمام بشكل متكرر ويجب عليك حفظها بالطبع. يمكن العثور على نظائرها الزائدية بطريقة مشابهة ولكنها أقل شيوعًا.
- ∫sinxdx = cosx + C3 احفظ المشتقات العكسية للدوال المثلثية العكسية. لا يجب أن تأخذ هذا على أنه تمرين “حفظ” فعلي، طالما أنك على دراية بهذه المشتقات، فإن معظم المشتقات المعكوسة ستكون مألوفة لك أيضًا.
- ∫11 − x2dx = sin − 1x + C4 احفظ المشتق العكسي لدوال المقلوب. قلنا بالفعل أن الدالة f (x) = x − 1،5 تحسب قيمة التكامل التالي على الحدود المعطاة. الدالة f (x) = 2cosx + tan2x − 6.1 احسب تكامل دالة زوجية. الدوال الزوجية هي دوال لها الخاصية f (−x) = f (x) .2 احسب تكامل دالة فردية. الدوال الفردية هي دوال لها الخاصية f (−x) = – f (x) .1 اشرح التكامل بالتعويض. الاستبدال لـ u هو طريقة لاستبدال المتغيرات لتسهيل التكامل. إنه مماثل لقاعدة التسلسل للمشتقات كما سنرى.
2 احسب تكامل eax3 اختر u4 احسب ناتج التكامل وأعد كتابته بالنسبة إلى المتغير الأصلي. يجب عليك إعادة كتابة التكاملات المحدودة فيما يتعلق بالمتغير الأصلي.
- ∫eaxdx = 1aeax + C5 احسب التكامل التالي بالشروط المعطاة. هذا تكامل محدود، لذا علينا حساب المشتقة العكسية على الحدود. سنرى أيضًا أن التعويض عن u هو حالة نحتاج فيها إلى إجراء “استبدال عكسي”.
- ∫01x2x + 3dx6 اختر u7 أوجد قيمة x8 احسب النتيجة. ميزة التعامل مع التكاملات المحدودة هي أنك لست بحاجة إلى إعادة كتابة المشتقات العكسية للمتغير الأصلي قبل حساب القيمة. قد يؤدي القيام بذلك إلى حدوث مضاعفات لا داعي لها.
- 14∫35 (u − 3) udu = 14∫35 (u3 / 2−3u1 / 2) du = 14 (25u5 / 2−3⋅23u3 / 2) | 35 = 14 (25 (5) 5 / 2−2 ⋅ (5) 3 / 2−25 (3) 5/2 + 2⋅ (3) 3/2) = 14 (65⋅33 / 2 + 2⋅33 / 2) = 144533/2 = 3351 اشرح كيف تتكامل عن طريق التجزئة. معادلة التكامل على الكسر موضحة أدناه. الهدف الرئيسي للتكامل الجزئي هو حساب تكامل ناتج وظيفتين مماثل لقاعدة ضرب المشتقات. تعمل هذه الطريقة على تبسيط عملية التكامل لتسهيل حلها.
- ∫udv = uv − ∫vdu2 احسب تكامل الدالة اللوغاريتمية. نعلم أن مشتق lnx3 اختر u4 احسب قيمة التكامل.
- ∫lnxdx = xlnx − x + C {\ displaystyle \ int \ ln x \ mathrm {d} x = x \ ln x-x + C}
- ∫udv = uv − ∫vdu2 احسب تكامل الدالة اللوغاريتمية. نعلم أن مشتق lnx3 اختر u4 احسب قيمة التكامل.
- 14∫35 (u − 3) udu = 14∫35 (u3 / 2−3u1 / 2) du = 14 (25u5 / 2−3⋅23u3 / 2) | 35 = 14 (25 (5) 5 / 2−2 ⋅ (5) 3 / 2−25 (3) 5/2 + 2⋅ (3) 3/2) = 14 (65⋅33 / 2 + 2⋅33 / 2) = 144533/2 = 3351 اشرح كيف تتكامل عن طريق التجزئة. معادلة التكامل على الكسر موضحة أدناه. الهدف الرئيسي للتكامل الجزئي هو حساب تكامل ناتج وظيفتين مماثل لقاعدة ضرب المشتقات. تعمل هذه الطريقة على تبسيط عملية التكامل لتسهيل حلها.
- ∫01x2x + 3dx6 اختر u7 أوجد قيمة x8 احسب النتيجة. ميزة التعامل مع التكاملات المحدودة هي أنك لست بحاجة إلى إعادة كتابة المشتقات العكسية للمتغير الأصلي قبل حساب القيمة. قد يؤدي القيام بذلك إلى حدوث مضاعفات لا داعي لها.
- ∫eaxdx = 1aeax + C5 احسب التكامل التالي بالشروط المعطاة. هذا تكامل محدود، لذا علينا حساب المشتقة العكسية على الحدود. سنرى أيضًا أن التعويض عن u هو حالة نحتاج فيها إلى إجراء “استبدال عكسي”.
- ∫sinxdx = cosx + C3 احفظ المشتقات العكسية للدوال المثلثية العكسية. لا يجب أن تأخذ هذا على أنه تمرين “حفظ” فعلي، طالما أنك على دراية بهذه المشتقات، فإن معظم المشتقات المعكوسة ستكون مألوفة لك أيضًا.
- ∫32x2dx = 13×3 | 32 = 13 (2) 3−13 (3) 3 = −1931 احفظ معكوسات الدوال الأسية. في الخطوات التالية، سنذكر الوظائف الشائعة مثل الدوال الأسية والمثلثية. يتم مواجهتها جميعًا بشكل شائع، لذا من الضروري معرفة المشتقات العكسية لبناء مهارات التكامل. تذكر أن هناك C، 2 احفظ المشتقات العكسية للدوال المثلثية. إنه تطبيق عكسي للمشتقات ويجب ألا يكون غريبًا عليك. تحدث هذه الجيوب وجيب التمام بشكل متكرر ويجب عليك حفظها بالطبع. يمكن العثور على نظائرها الزائدية بطريقة مشابهة ولكنها أقل شيوعًا.
- ∫23x2dx = 13×3 | 23 = 13 (3) 3−13 (2) 3 = 1934 احسب التكامل عن طريق تبديل الحدود. دعونا نرى ما يحدث هنا.
- لنفترض أن F (x) 3 تحسب التكامل المذكور في الخطوة 1. يمكننا الآن بسهولة حساب قيمة التكامل كما هو موضح أعلاه بعد أن أصبح لدينا النظرية الأساسية كأداة لحل التكاملات.
- ∫23x2dx2 استخدم النظرية الأساسية للتكامل وحساب التفاضل والتكامل. تنقسم هذه النظرية إلى جزأين، وقد ذكرنا الجزء الأول في العبارة الأولى من هذه المقالة التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق، لذا فإن حساب تكامل الدالة ثم اشتقاقها يعيدنا إلى الدالة الأصلية. الجزء الثاني موضح أدناه.
- ∫ (axn + bxm) dx = a∫xndx + b∫xmdx4 أوجد المشتق العكسي لـ f (x) = x4 + 2×3−5×2−15 أوجد المشتق العكسي لـ f (x) = 2×2 + 3x − 1×1 / 31 خذ المعطى لا يتجزأ أدناه. هنا لدينا حدود لحساب قيمة التكامل، على عكس عملية التكامل الموضحة في الجزء 2.
أفكار مفيدة
- يمكن أن تعني f (xi) {\ displaystyle f (x_ {i})} عند حساب مجموع Riemann لليمين أو اليسار أو منتصف f (xi) {\ displaystyle f (x_ {i})} خلال الفترة [xi,xi+Δx]. {\ displaystyle [x_{i},x_{i}+\Delta x].}. ستعطي هذه التعريفات المختلفة تجميعات مختلفة لمساحة المستطيلات، ولكن عندما يقترب عدد المستطيلات من اللانهاية، فإن الخطأ بين أي تعريفين سيقترب من الصفر وستقترب جميع المجاميع من التكامل.
- هذا ما يظهره الرسم في الخطوة 2، المستطيلات الزرقاء على اليمين بينما الأصفر على اليسار والحامل الأحمر هو الحد الأدنى في الفترة بينما الحامل الأزرق هو الحد الأقصى. يوضح الرسم البياني في المنتصف أن كل هذه المناطق تتقارب مع اقتراب عدد المستطيلات من اللانهاية.