تُستخدم العمليات العكسية على نطاق واسع في الجبر لتبسيط ما يمكن أن يكون صعبًا. على سبيل المثال، إذا أردنا القسمة على كسر في مسألة ما، يمكنك الضرب في معكوس هذا الكسر وتسمى العملية العكسية. في المصفوفات، ستحتاج إلى الضرب في معكوس المصفوفة نظرًا لعدم وجود عامل قسمة للمصفوفات بشكل عام. نعلم أن حساب معكوس أي مصفوفة 3×3 أمر شاق بعض الشيء، لكنه لا يزال يستحق البحث. من ناحية أخرى، يمكنك حساب هذا المعكوس باستخدام آلة حاسبة متقدمة.

احسب المصفوفة المترافقة لإيجاد المعكوس

  1. 1 افحص محدد المصفوفة. ستحتاج إلى آلة حاسبة لحساب محدد المصفوفة كخطوة أولى. ينتهي عملك إذا كان المحدد صفرًا، لأن المصفوفة لا تحتوي على معكوس. يمكننا التعبير رمزياً عن محدد المصفوفة M بالتعبير الرياضي det (M). X مصدر البحث

    • أوجد أولًا محدد مصفوفة 3×3.
    • انظر الموارد عبر الإنترنت لمعرفة المزيد عن محدد المصفوفة.

  2. 2 حول المصفوفة الأصلية. من خلال تحويل المصفوفة نعني قلبها حول القطر الرئيسي أو على سبيل المثال التبديل بين العناصر (i، j) و (j، i). تأكد عند تبديل عناصر المصفوفة أن القطر الرئيسي (بدءًا من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين) لم يتغير. X مصدر البحث

    • يمكنك أيضًا تحويل المصفوفة عن طريق إعادة كتابة الصف الأول في العمود الأول، ثم كتابة الصف الأوسط في العمود الأوسط، ثم كتابة الصف الثالث في العمود الثالث في النهاية. لاحظ العناصر الملونة في الشكل أعلاه وتحقق من مكان تبديلها.

  3. 3 أوجد محدد 2×2 مصفوفات أصغر. يرتبط كل عنصر من المصفوفة المحولة 3 × 3 الجديدة بعنصر مناظر في مصفوفة 2 × 2 “أصغر”. ابدأ بتحديد الصف والعمود الذي يوجد فيه العنصر الذي تبحث عن أصغر مصفوفة فيه. الأربعة المتبقية من خمسة عناصر في المصفوفة تشكل المصفوفة الأصغر. X مصدر البحث

    • حدد العناصر الخمسة في الصف الثاني والعمود الأول – كما هو موضح في المثال أعلاه – إذا كنت تريد العثور على أصغر مصفوفة لها. العناصر الأربعة المتبقية تشكل المصفوفة الأصغر.
    • أوجد محدد كل مصفوفة صغيرة بضرب الأقطار بالمقص وطريقة الطرح كما هو موضح.
    • ابحث في الإنترنت لمعرفة المزيد عن أقل المصفوفات واستخداماتها الرياضية.

  4. 4 أوجد مصفوفة العوامل المساعدة. ضع نتائج الخطوة السابقة في مصفوفة جديدة (مصفوفة العامل المساعد) مع صف المحدد من المصفوفة الثانوية في مكانها المقابل في المصفوفة الأصلية. لذا فإن المحدد الذي حسبته من العنصر (1،1) للمصفوفة الأصلية سيذهب إلى مكانه (1،1). يجب أن تكون قد قلبت إشارات العناصر المتناوبة للمصفوفة الجديدة باتباع طريقة “الشطرنج” كما هو موضح. X مصدر البحث

    • يحتفظ العنصر الأول في الصف الأول بعلامته الأصلية عندما توضع الأعلام وينعكس العنصر الثاني ويحتفظ العنصر الثالث بعلامته الأصلية أيضًا. استمر على هذا النحو لبقية المصفوفة ولاحظ أن علامات (+) أو (-) في مخطط الشطرنج هذا لا تتطلب أن يكون العنصر الأخير إيجابيًا أو سالبًا، فهي مجرد مؤشرات على الاحتفاظ بالعنصر كـ (+) أو المقابل (-) مهما كانت علامته الأصلية.
    • ابحث في الإنترنت لمعرفة المزيد عن مصفوفات العوامل المساعدة.
    • يجب أن تكون الخطوة الأخيرة من هذه العملية هي العثور على المصفوفة المصاحبة للمصفوفة الأصلية. تسمى هذه المصفوفة أحيانًا المصفوفة المساعدة. نشير إليها في مشاكل الرمز Adj (M).

  5. 5 قسّم كل عنصر من عناصر المصفوفة المصاحبة على المحدد. ستستخدم الآن محدد المصفوفة M الذي حسبته في الخطوة الأولى (للتأكد من إمكانية إيجاد المعكوس) لقسمة كل عنصر من عناصر المصفوفة على هذه القيمة. بعد ذلك، ضع نتيجة كل عملية حسابية في مكان العنصر الأصلي لتجد أن النتيجة النهائية هي معكوس المصفوفة الأصلية. X مصدر البحث

    • في المثال الموضح في الصورة المصاحبة، ستجد أن قسمة كل عنصر من المصفوفة المترافقة سينتج نفس الاقتران، لأن المحدد هو 1. (وصدقني، لن تفقد حظك طوال الوقت).
    • في هذه الخطوة، تفضل بعض المصادر ضرب المصفوفة M في 1 / det (M) بدلاً من القسمة، لأن هاتين العمليتين متساويتان.

استخدام معكوس المصفوفة بطريقة اختزال الصنف

  1. 1 أضف مصفوفة الوحدة إلى المصفوفة الرئيسية. اكتب المصفوفة M ثم ارسم خطًا رأسيًا على يمينها واكتب مصفوفة الوحدة على يمينها. سيكون لديك الآن ما يبدو أنه مصفوفة من ثلاثة صفوف، ولكل صف ستة أعمدة. X مصدر البحث

    • تذكر أن مصفوفة الوحدة هي مصفوفة جميع عناصر القطر الرئيسي من أعلى اليسار إلى أسفل يمين الرقم 1، وبقية عناصرها هي صفر. ابحث على الإنترنت وتعرف على المزيد حول خصائص مصفوفة الوحدة.

  2. 2 احسب عمليات تخفيض الصنف. هدفك في هذه المرحلة هو إنشاء مصفوفة وحدة على يسار المصفوفة الكبيرة التي أنهيناها في الخطوة السابقة. قم الآن بنفس العملية لتقليل الصفوف التي قمت بها في الخطوة السابقة إلى مصفوفة الوحدة. X مصدر البحث

    • تذكر أن الاختزال في الفئة هو مزيج من الضرب القياسي والجمع أو الطرح لعزل عناصر المصفوفة. قم ببحث جيد على الإنترنت أو في المكتبة لمعرفة المزيد عن تخفيضات المصفوفة.

  3. 3 استمر في القيام بذلك حتى تحصل على مصفوفة الوحدة. أمامك، بعد تكرار عملية الاختزال الخطي، على يسار المصفوفة الكبيرة، ستجد مصفوفة الوحدة (والتي، كما أوضحنا، عبارة عن مصفوفة من العناصر بقطر 1 وبقية عناصرها تتكون من صفر). في النهاية، ستكتشف أن كل ما هو على يمين الخط العمودي الذي قمت بسحبه في البداية هو معكوس المصفوفة الأصلية. X مصدر البحث

  4. 4 اكتب معكوس المصفوفة. الآن انسخ العناصر المعروضة أمامك على يمين الخط العمودي الذي قمنا بسحبه في البداية لكتابة معكوس المصفوفة الأصلية. X مصدر البحث

استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد معكوس المصفوفة

  1. 1 استخدم آلة حاسبة متقدمة يمكنها التعامل مع المصفوفات. لن تتمكن أي آلة حاسبة أولية من حساب معكوس المصفوفة مباشرة. فقط آلة حاسبة متقدمة (تسمى fx في مصر) يمكنها حساب المعكوس وتوفير الوقت وإنجاز العمل بسبب الطبيعة المتكررة للحسابات في العملية، مثل Casio fx 991es في مصر أو TI-83 من تكساس. X مصدر البحث

  2. 2 أدخل المصفوفة في الآلة الحاسبة. أدخل الآن وظيفة المصفوفة أولاً بالضغط على زر المصفوفة في الآلة الحاسبة (إذا كان لديك واحد في الآلة الحاسبة). على أجهزة كمبيوتر تكساس، يمكنك النقر فوق 2ndMatrix.

  3. 3 حدد القائمة الفرعية “تحرير” أو “تحرير” إذا كانت باللغة الإنجليزية. بناءً على نوع الآلة الحاسبة وتصميمها، قد تحتاج إلى استخدام أزرار الأسهم أو مفتاح الإجراء المناسب أعلى لوحة مفاتيح الآلة الحاسبة لتحديد هذه القائمة الفرعية. X مصدر البحث

  4. 4 قم بتعيين اسم للمصفوفة الخاصة بك. تعمل معظم أجهزة الكمبيوتر في نطاق من 3 إلى 10 مصفوفات مرقمة بالأحرف من A إلى J. افتراضيًا، حدد الحرف A واضغط على Enter بعد التحديد. X مصدر البحث

  5. 5 أدخل أبعاد المصفوفة. كما ترى، تركز هذه المقالة على المصفوفة 3×3 المربعة، على الرغم من أن الآلة الحاسبة بالطبع يمكنها التعامل مع مصفوفات أكبر. أدخل عدد الصفوف واضغط على Enter، متبوعًا بعدد الأعمدة بالضغط على Enter. X مصدر البحث

  6. 6 أدخل كل عنصر من عناصر المصفوفة. ستظهر المصفوفة الآن على شاشة الآلة الحاسبة. ستظهر المصفوفة السابقة على الشاشة إذا كان وضع التشغيل في وضع المصفوفة. سيقف المؤشر على العنصر الأول من المصفوفة. أدخل قيم المصفوفة التي تريد حلها واضغط على Enter. سينتقل المؤشر الآن تلقائيًا إلى العنصر التالي من المصفوفة، ويلغي أي قيم سابقة ويدخل القيم الجديدة. X مصدر البحث

    • استخدم زر الطرح (-) على الآلة الحاسبة الخاصة بك إذا كنت تريد إدخال قيمة سالبة وعدم استخدام مفتاح الطرح. لن يتم قراءة المصفوفة بشكل صحيح إذا استخدمت مفتاح الطرح.
    • عند الحاجة، يمكنك التنقل بين عناصر المصفوفة كما تريد باستخدام مفاتيح الأسهم.

  7. 7 الخروج من وضع المصفوفات. اضغط على مفتاح الخروج للخروج من وضع المصفوفات (أو الثاني إذا لزم الأمر) بعد إدخال جميع قيم الصفيف. ستخرج من وضع المصفوفات وتعود إلى الواجهة الرئيسية للآلة الحاسبة. X مصدر البحث

  8. 8 استخدم المفتاح العكسي لإيجاد معكوس المصفوفة. أعد فتح وضع المصفوفات أولاً واستخدم زر الأسماء لاختيار رمز المصفوفة الذي استخدمته لتعريف المصفوفة في البداية (والذي كان في مثالنا [A]). ثم اضغط على مفتاح معكوس في الآلة الحاسبة x − 1 X مصدر البحث

    • لا تستخدم الزر ^ في الآلة الحاسبة لإدخال A ^ -1 بثلاثة مفاتيح، لأن الآلة الحاسبة لن تفهم هذه العملية.
    • قد لا يكون هناك معكوس للمصفوفة إذا أظهرت لك الآلة الحاسبة خطأً، فعليك العودة إلى المصفوفة الرئيسية وحساب محددها للتأكد.

  9. 9 حوّل معكوس المصفوفة إلى إجابة نموذجية. ستظهر لك الآلة الحاسبة الحل النهائي كرقم عشري. لا يمكننا اعتبار هذه النتيجة العشرية إجابة دقيقة أو نموذجية لسؤالنا، لذلك تحتاج الآن إلى تحويل هذه الإجابة العشرية إلى صيغة كسرية كما هو مطلوب (إذا كنت محظوظًا، فستحصل على النتيجة كأرقام صحيحة، على الرغم من أن هذا نادرًا ما يحدث). X مصدر البحث

    • ستحتوي الآلة الحاسبة على الأرجح على مفتاح يمكنه تحويل الأرقام تلقائيًا من الكسور العشرية إلى الكسور. يمكنك القيام بذلك باستخدام آلة حاسبة TI-86، على سبيل المثال، عن طريق إدخال وضع الرياضيات في الآلة الحاسبة، واختيار متفرقات، ثم Frac، والضغط على Enter. ستظهر الأرقام العشرية مباشرة على شكل كسر.

  10. 10 تحتوي معظم الآلات الحاسبة المتقدمة على مفاتيح أقواس مربعة (يمكنك كتابة TI-84 مع 2 + x و 2 + -). تتيح لك هذه الأقواس كتابة مصفوفة دون الدخول في وضع الصفيف. لاحظ أنه في هذه الحالة، لن ترسم الآلة الحاسبة المصفوفة لك حتى تضغط على مفتاح Enter أو =، وسيكون كل شيء في سطر واحد ولن يكون منظمًا.

أفكار مفيدة

  • يمكنك استخدام نفس الخطوات للعثور على معكوس المصفوفات التي لا تحتوي فقط على أرقام ولكن أيضًا المتغيرات والمجهول والتعبيرات الجبرية.
  • اكتب كل الخطوات لأنه من الصعب جدًا حساب معكوس مصفوفة 3 × 3 مربعة في رأسك فقط.
  • يوجد برنامج كمبيوتر يمكنه العثور على معكوس المصفوفات X كمصدر بحث لمصفوفة بحجم 30 × 30.
  • تأكد من دقة نتائجك، أيًا كانت الطريقة التي تستخدمها بضرب المصفوفة M في M-1، حيث من المفترض أن تتأكد من أن M * M-1 = M-1 * M = I. I هي مصفوفة الوحدة 1 على طول القطر وبقية العناصر صفر. عد إلى حيث حدث الخطأ إذا لم تسر الأمور بهذه الطريقة.

تحذيرات

  • لاحظ أن المصفوفات المربعة 3 × 3 لها مقلوب، ولكن إذا كان محدد المصفوفة صفرًا، فإن هذه المصفوفة ليس لها معكوس. (نقسم على det (M) في صورة معكوسة، والقسمة على صفر غير معرفة).