يتغير ميل المنحنى باستمرار أثناء تحركك على الرسم البياني، على عكس الخط المستقيم. يعرّف التفاضل والتكامل الطلاب على فكرة أن كل نقطة على الرسم البياني يمكن وصفها بمنحدر، أو “معدل التغيير الفوري”، وبالتالي فإن الخط المماس هو خط مستقيم لديه درجة من الميل، ويمر عبر تلك النقطة المحددة على رسم بياني. لإيجاد معادلة خط المماس، عليك أن تعرف كيف تأخذ مشتق المعادلة الأصلية.
خطوات
إيجاد معادلة خط المماس
1 ارسم الدالة وخط المماس (لتسهيل الحل). يسهل الرسم البياني الوصول إلى حل المشكلة ومعرفة الإجابات الأكثر منطقية، لذا ارسم الوظيفة على ورقة رسم بياني باستخدام حاسبة بيانية إذا لزم الأمر، ثم ارسم خط الظل بحيث يمر عبر النقطة المحددة (تذكر أن خط المماس يمر عبر النقطة وله نفس درجة ميل الرسم البياني عند تلك النقطة).
مثال 1 ارسم التمثيل البياني للقطع المكافئ f (x) = 0.5×2 + 3x − 1 2 استخدم المشتق الأول لإيجاد معادلة ميل خط الظل. للوظيفة (س) ؛ المشتق الأول للدالة f (x) هو معادلة ميل خط المماس لأي نقطة على الدالة f ‘(x). هناك العديد من الطرق وهنا مثال بسيط باستخدام المشتق الأول X هو مصدر بحث
مثال 1 تم وصف الرسم البياني بالدالة f (x) = 0.5×2 + 3x − 1 3 عوّض بقيمة x عند النقطة التي تتحقق منها. اقرأ المشكلة لاكتشاف إحداثيات النقطة التي تحاول إيجاد خط المماس لها. ثم عوض بإحداثيات x لهذه النقطة في الدالة f ‘(x) بحيث تكون النتيجة ميل خط المماس عند هذه النقطة.
مثال 1 النقطة المحددة في المشكلة هي (-6، -1). استخدم الإحداثي الأول -6 -x كمدخل لـ f ‘(x)
(-6) = -6 + 3 = -3
ميل خط المماس يساوي -3.
4 اكتب معادلة خط المماس عند نقطة الميل. صيغة ميل نقطة في معادلة المماس هي y − y1 = m (x − x1) X Research Resource الآن لديك كل البيانات التي تحتاجها لكتابة معادلة المماس بهذه الصورة.
مثال 1 y − y1 = m (x − x1) 5 افحص المعادلة في الرسم البياني. إذا كان لديك آلة حاسبة للرسم البياني، ارسم الوظيفة الأصلية والظل للتأكد من حصولك على الإجابة الصحيحة، بينما إذا كنت تعمل على الورق، فسيتعين عليك الرجوع إلى الرسم البياني الأول للتأكد من عدم وجود أخطاء في إجابتك .
مثال 1 يشير الرسم البياني الأولي إلى أن ميل المنحنى كان سالبًا وأن تقاطع المحور y كان أقل بكثير من -5.5. من خلال معادلة ميل المماس، نجد أن y = -3x – 19 على منحدر التدرج يعني أن الميل = -3 وأن القيمة -19 هي الجزء المقطوع من المحور y. هاتان النتيجتان متطابقتان مع النتيجة المتوقعة من قبل.
6 حاول حل المشاكل الأكثر تعقيدًا. يمكنك إجراء العملية بأكملها مرة أخرى باستخدام أرقام مختلفة وهذه المرة تحتاج إلى إيجاد ميل الظل f (x) = x3 + 2×2 + 5x + 1 1. هذه هي النقاط التي يصل فيها الرسم البياني إلى أعلى نقطة محلية (نقطة فوق النقاط على كلا الجانبين) أو أدنى نقطة محلية (نقطة أقل من النقاط على كلا الجانبين). دائمًا ما يكون ميل المماس لهذه النقاط صفرًا (خط أفقي)، لكن درجة الصفر لا تضمن نقطة قصوى. إليك كيفية العثور عليه X Research Source
- خذ المشتق الأول للحصول على المشتق الأول للدالة f ‘(x)، وهي معادلة ميل خط المماس.
- عوّض حيث f ‘(x) = 0 لإيجاد أكبر نقطة ممكنة.
- خذ المشتق الثاني للحصول على المشتق الثاني لـ f ‘(x)، وهي المعادلة التي تخبرك بمدى سرعة تغير ميل المماس.
- لكل نقطة متطرفة، ضع قيمة النقطة a على محور الدالة f (x) للمشتق الثاني. إذا كان حاصل ضرب المشتق الثاني للدالة (أ) موجبًا، فسيكون هناك حد أدنى عند a، وإذا كان سالبًا، فهذا يعني أن هناك قمة.
- إذا كان هناك قيمة قصوى أو أدنى للنقطة أ، فابحث عن دالة (أ) للحصول على إحداثيات (ص).
2 أوجد معادلة السطح العمودي. العمود العمودي على السطح بالنسبة لمنحنى عند نقطة يمر عبر تلك النقطة وله ميل عمودي على المماس. للعثور على معادلة السطح العمودي، ضع في اعتبارك أن (ميل الظل) * (ميل السطح العمودي) = -1 عندما يمر الاثنان في نفس النقطة على الرسم البياني X Research Source
- أوجد الدالة f ‘(x) لميل خط المماس.
- إذا كانت النقطة على x = a، فأوجد الدالة f ‘(a) لإيجاد ميل خط المماس لهذه النقطة.
- احسب −1f ′ (a) {\ displaystyle {\ frac {-1} {f ‘(a)}}} لإيجاد الميل في الحالة العادية.
- اكتب معادلة الميل لنقطة في صورتها الأصلية.
أفكار مفيدة
- ابدأ بكتابة المعادلة الأولية، إذا لزم الأمر، بالصيغة التقليدية دالة (س) = … أو (ص) = …