كيفية إيجاد الزاوية بين متجهين

في الرياضيات، المتجه هو أي شيء له طول واتجاه محددان (يُعرف باسم الحجم). نظرًا لأنها ليست أشكالًا أو خطوطًا منتظمة، فسيتعين عليك استخدام معادلات خاصة لإيجاد الزوايا بين المتجهات.

خطوات

أوجد الزاوية بين متجهين

1. 1 تحديد متجه. اكتب جميع المعلومات التي لديك عن المستلمين. سنفترض أن لديك تعريف متجه في الإحداثيات الديكارتية (تسمى أيضًا العناصر). يمكنك تخطي بعض الخطوات أدناه إذا كنت تعرف طول المتجه (المقدار).

   • مثال المتجه ثنائي الأبعاد u → 2 اكتب معادلة جيب التمام. ابدأ بصيغة إيجاد جيب تمام الزاوية θ بين متجهين لإيجاد الزاوية. أو يمكنك فقط كتابته X مصدري البحثي
     • cosθ = (u → 3) احسب طول كل من المتجهين. تخيل مثلث قائم الزاوية مرسومًا من المكون x للمتجه والمكون y والمتجه نفسه. يشكل المتجه وتر المثلث، لذلك سنستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طوله. كما اتضح، تنطبق هذه المعادلة بسهولة على أي متجه بأي عدد من العناصر.

       • || u || 2 = u12 + u22. استمر في إضافة + u 32 + u42 + … إذا كان المتجه يحتوي على أكثر من عنصرين.

       • لذا فإن المتجه ثنائي الأبعاد هو || u || = √ (u12 + u22).
       • في المثال || u → 4، احسب حاصل الضرب القياسي للمتجهين. ربما تكون قد تعلمت طريقة الضرب المتجه هذه والتي تسمى أيضًا الضرب العددي. X مصدر البحث اضرب العناصر في نفس الاتجاه مع بعضها البعض ثم أضف النتائج لحساب حاصل الضرب النقطي لعناصر المتجه.
         • قبل المتابعة، راجع برنامج الرسم بالكمبيوتر.
         • بالنسبة للصيغة الرياضية u → 5، استبدل النتائج في المعادلة. تذكر أن cosθ = (u → 6) أوجد الزاوية بناءً على جيب التمام. يمكنك استخدام الدالة arccos أو cos-1 على الآلة الحاسبة لإيجاد الزاوية θ من القيمة المعروفة لجيب التمام. مع بعض النتائج، قد تتمكن من إيجاد الزاوية بناءً على دائرة الوحدة.
           • في مثالنا، cosθ = √2 / 2. أدخل “arccos (√2 ​​/ 2)” في الآلة الحاسبة لإيجاد الزاوية. أوجد الزاوية θ على دائرة الوحدة بدلاً من ذلك حيث cosθ = √2 / 2 وهذا ينطبق عندما θ = pi / 4 أو 45º.
           • تصبح المعادلة النهائية بعد دمج كل ما سبق زاوية θ = قوس جيب الزاوية ((u → 1) افهم الغرض من هذه المعادلة. لم يتم اشتقاق هذه المعادلة من القواعد الحالية بل نشأت من تحديد المنتج النقطي لمتجهين والزاوية بينهما. X هو مصدر بحث ولكن هذا القرار لم يكن عشوائيًا بالعودة إلى أساسيات الهندسة، نرى سبب حصولنا على تعريفات بديهية ومفيدة من هذه المعادلة.
             • تستخدم الأمثلة أدناه متجهات ثنائية الأبعاد لأنها الأكثر سهولة في الاستخدام، ولكن يتم تحديد خصائص المتجهات ثلاثية الأبعاد أو أكثر من العناصر بواسطة معادلة عامة مشابهة جدًا.

           • 2 الرجوع إلى قانون جيب التمام. خذ مثلثًا عاديًا فيه زاوية θ بين الضلع أ و ب والضلع المقابل ج. ينص قانون جيب التمام على أن c2 = a2 + b2 -2abcos (θ). هذا مشتق بسهولة من أساسيات الهندسة.

           • 3 قم بتوصيل متجهين لتشكيل مثلث. ارسم متجهين ثنائي الأبعاد على الورق وهما عبارة عن مصدر بحثي ← X

           • 4 اكتب قانون جيب التمام لهذا المثلث. أدخل أطوال أضلاع “المثلث المتجه” في قانون جيب التمام

             • || (أ – ب) || 2 = || أ || 2 + || ب || 2 – 2 || أ || || ب || كوس (θ)

           • 5 اكتب هذا باستخدام الضرب النقطي. تذكر أن الضرب النقطي هو تكبير أحد المتجهين وإسقاطه على الآخر. لا يتطلب حاصل الضرب النقطي للمتجه في حد ذاته إسقاطًا لأنه لا يوجد فرق في الاتجاه. X مصدر بحثي وهذا يعني a → 6 أعد كتابته بالشكل المألوف. انشر الطرف الأيمن من المعادلة، ثم بسّطه إلى المعادلة المستخدمة لإيجاد الزوايا.

             • أ → X مصدر بحث X مصدر بحث

               • استخدم الموضع الأحادي لكل متجه بحيث يكون الطول 1 وسيتعين عليك تقسيم عناصر المتجه على طوله للقيام بذلك.
               • خذ حاصل الضرب القياسي للمتجهات المتناسبة بدلاً من الضرب الأصلي.
               • استبعد حد الطول من المعادلة لأنه يساوي 1. ستكون المعادلة النهائية للزاوية (u → {\ displaystyle {\ overrightarrow {u}}} • v → {\ displaystyle {\ overrightarrow {v))} ).
             • يمكننا معرفة ما إذا كانت الزاوية حادة أم منفرجة من معادلة جيب التمام بسرعة. ابدأ بالمعادلة cosθ = (u → {\ displaystyle {\ overrightarrow {u))} • v → {\ displaystyle {\ overrightarrow {v}}}) / (|| u → {\ displaystyle {\ overrightarrow {u) )} || || v → {\ displaystyle {\ overrightarrow {v}}} ||)
               • يجب أن يكون للجانبين الأيمن والأيسر من المعادلة نفس العلامة (موجبة أو سالبة).
               • يجب أن تكون علامة cosθ هي نفسها علامة حاصل الضرب القياسي لأن الأطوال تكون دائمًا موجبة.
               • إذن cosθ موجب إذا كانت النقطة موجبة ونحن في الربع الأول من دائرة الوحدة حيث θ
               • سيكون cosθ سالبًا إذا كان حاصل الضرب النقطي سالبًا وسنكون في الربع الثاني من دائرة الوحدة حيث π / 2 <≤ π أو 90 ° <≤ 180 ° والزاوية منفرجة.